Question

12．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（1，2），$\overrightarrow{n}$=（-1，cosA），且$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{3}$，b+c=2$\sqrt{3}$，求证：△ABC为等边三角形．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用数量积公式求出A的余弦值，进而求角A的大小；
（Ⅱ）利用余弦定理得到a，b，c三边，判断三角形的形状．

解答 解：（Ⅰ）由向量$\overrightarrow{m}$=（1，2），$\overrightarrow{n}$=（-1，cosA），且$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0．
得到-1+2cosA=0解得cosA=$\frac{1}{2}$，由0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）证明：在△ABC中，因为a²=b²+c²-2bccosA，且a=$\sqrt{3}$，b+c=2$\sqrt{3}$，
所以3=b²+c²-2bc$•\frac{1}{2}$=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，解得c=$\sqrt{3}$，所以b=$\sqrt{3}$，
所以a=b=c=$\sqrt{3}$，所以三角形为等边三角形．

点评 本题考查了平面向量的数量积运用以及利用余弦定理判断三角形的形状；属于基础题目．