Question

（08年长沙市模拟理）（12分） 如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，，平面平面。

（1）证明：；

（2）求二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值；

（3）在直线CC₁上是否存在点P，使BP//平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由。

 

Answer 1

解析：连接BD交AC于O，则，连接A₁O在中，AA₁=2,AO=1,

，由于平面平面ABCD，

所以底面ABCD

∴以OB、OC、OA₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(-,0,0),A₁(0,0, )  2分

（1）由于

由

  4分

（2）由于平面平面AA₁C₁C的法向量，设平面AA₁D，则设  6分

得到取  6分

所以二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值是  8分

（3）假设在直线CC₁上存在点P，使BP//平面DA₁C₁

设则

得  9分

设平面DA₁C₁，则，设

得到不妨取   10分

又因为平面DA₁C₁，则即得

即点P在C₁C的延长线上且使C₁C=CP  12分

法二：过A₁作于点O，由于平面平面ABCD，由面面垂直的性质定理知，平面ABCD，又底面为菱形，所以

  4分

（2）在中， 。

所以O是AC的中点，由于底面ABCD为菱形，所以O也是BD中点

由（1）可知平面AA₁C

过O作于E点，连接OE，则

则为二面角D-AA₁-C的平面角  6分

在菱形ABCD中，

在中，

  8分

（3）以下同解法1。