Question

设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求证：y=f（x）是奇函数；    
（2）求证：函数y=f（x）在R上为减函数．
（3）试问在-3≤x≤3时，f（x）是否有最值？若有求出最值；若没有，说出理由．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法：先令x=y=0⇒f（0）=0，再令y=-x⇒f（x）+f（-x）=0；
（2）利用单调性的定义：任取x₁＜x₂，⇒f（x₂-x₁）＜0⇒f（x₁）-f（x₂）＞0；
（3）由（2）y=f（x）在R上为减函数，⇒y=f（x）在[-3，3]上为减函数，从而可求得其最大值与最小值．

解答：证明：（1）令x=y=0，则有f（0）=2f（0）⇒f（0）=0．
令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x）=0，
 即f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数． …（5分）
（2）任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0．⇒f（x₂-x₁）＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴y=f（x）在R上为减函数． …（10分）
（3）由（2）y=f（x）在R上为减函数，
∴y=f（x）在[-3，3]上为减函数，f（3）为函数的最小值，f（-3）为函数的最大值． 
又f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6，
∴函数最大值为6，最小值为-6…（14分）

点评：本题考查抽象函数及其应用，关键在于灵活应用（正用与逆用）函数的奇偶性与单调性进行证明与求最值，属于中档题．