Question

k为何值时，直线y=kx+2和椭圆x²+3y²=6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？

Answer 1

分析：由

y= kx+2 x2+3y2= 6

，得（1+3k²）x²+12kx+6=0，△=72k²-24，当△＞0 时，直线和曲线有两个公共点；
△=0 时，直线和曲线有一个公共点；当△＜0 时，直线和曲线没有公共点．

解答：解：由

y= kx+2 x2+3y2= 6

可得 （1+3k²）x²+12kx+6=0，△=144k²-24（1+3k²）=72k²-24，
当△=72k²-24＞0，即 k＞

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，或 k＜-

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 时，直线和曲线有两个公共点．
当△=72k²-24=0，即 k=

3

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，或 k=-

3

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 时，直线和曲线有一个公共点．
当△=72k²-48＜0，即-

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3

＜k＜

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 时，直线和曲线没有公共点．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，直线和圆锥曲线的交点个数的判断方法，求出△=72k²-24，是解题的关键．