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    【题目】统计学中将个数的和记作

    （1）设，求；

    （2）是否存在互不相等的非负整数，,使得成立，若存在，请写出推理的过程；若不存在请证明；

    （3）设是不同的正实数，，对任意的，都有，判断是否为一个等比数列，请说明理由.

    【答案】（1）79；（2）不存在，证明详见解析；（3）是等比数列，理由详见解析.

    【解析】

    （1）代值计算结果．（2）距离2019最近的2的幂次为，而2019小于2048，所以，但是2048和2019的差不大，所以可以研究他们的差如何表示．（3）利用数学归纳法证明.

    （1）因为，所以

    所以

    （2）因为，

    又，所以中最大可能是10，

    因为，

    所以

    又，

    所以必有·

    又因为，所以

    所以必然存在某几项，其中，

    只有，

    所以存在这样互不相等的非负整数，，

    使得成立。

    （3）数学归纳法证明：

    当，代入，

    化简得所以成等比数列

    假设当时成等比数列，是不同的正实数

    记，设

    化简整理得：

    去分母同乘以得

    整理

    因为

    得，从而，

    所以时是等比数列

    练习册系列答案
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    【题目】为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.

    （1）设事件为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件发生的概率；

    （2）用表示抽取的4人中文科女生的人数，求的分布列和数学期望.

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    【题目】如图，已知△的内角、、的对边分别为、、，其中，且，延长线段到点，使得，.

    （1）求证：是直角；

    （2）求的值.

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    【题目】如果存在常数a，使得数列{an}满足：若x是数列{an}中的一项，则a-x也是数列{an}中的一项，称数列{an}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．

    （1）若数列：2，3，6，m（m＞6）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；

    （2）已知有穷等差数列{bn}的项数是n0（n0≥3），所有项之和是B，求证：数列{bn}是“兑换数列”，并用n0和B表示它的“兑换系数”；

    （3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列{cn}，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某企业参加项目生产的工人为人，平均每人每年创造利润万元.根据现实的需要，从项目中调出人参与项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润万元（），项目余下的工人每人每年创造利图需要提高

    （1）若要保证项目余下的工人创造的年总利润不低于原来名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加项目从事售后服务工作？

    （2）在（1）的条件下，当从项目调出的人数不能超过总人数的时，才能使得项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．

    （1）求证：AB⊥平面PCB；

    （2）求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某旅游胜地欲开发一座景观山，从山的侧面进行勘测，迎面山坡线由同一平面的两段抛物线组成，其中所在的抛物线以为顶点、开口向下，所在的抛物线以为顶点、开口向上，以过山脚（点）的水平线为轴，过山顶（点）的铅垂线为轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．已知所在抛物线的解析式，所在抛物线的解析式为

    （1）求值，并写出山坡线的函数解析式；

    （2）在山坡上的700米高度（点）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站，索道的起点选择在山脚水平线上的点处，（米），假设索道可近似地看成一段以为顶点、开口向上的抛物线当索道在上方时，索道的悬空高度有最大值，试求索道的最大悬空高度；

    （3）为了便于旅游观景，拟从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶，台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得少于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）．试求出前三级台阶的长度（精确到厘米），并判断这种台阶能否一直铺到山脚，简述理由？

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    【题目】图1是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中桥塔、与桥面垂直，通过测量得知，，当为中点时，.

    （1）求的长；

    （2）试问在线段的何处时，达到最大.

    图1

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    （1）判断是否为上的“淡泊”函数，说明理由；

    （2）是否存在实数，使为上的“淡泊”函数，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由；

    （3）设是上的“淡泊”函数（其中不是常值函数），且，若对任意的，都有成立，求的最小值.

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