Question

设集合A={（x，y）|

m

2

≤（x-2）²+y²≤m²，x，y∈R}，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R }，若A∩B≠∅，求实数m的取值．

Answer 1

分析：首先由集合B得到其表示的点集，然后对是否为空集分类，当A不是空集时，再由m≤0或m≥

1

2

时分类，
若m≤0，则A={（x，y）|（x-2）²+y²≤m²，x，y∈R}表示以点（2，0）为圆心，半径为|m|的圆面（m=0时是原点），由点（2，0）到直线x+y=2m+1的距离不大于半径|m|求解m的范围；若m≥

1

2

，则A={（x，y）|

m

2

≤（x-2）²+y²≤m²，x，y∈R}表示以点（2，0）为圆心，大圆半径为|m|，小圆半径为

m 2

的圆环．然后再把m由1分界，m小于等于1时显然成立，m＞1时再由点（2，0）到直线x+y=2m的距离不大于半径|m|列式求解m的范围．

解答：解：∵对任意m∈R，都有2m≤2m+1，所以B≠∅，
集合B表示在直线x+y=2m与直线x+y=2m+1之间的平面区域（包含边界）．
当

m

2

＞m²，即0＜m＜

1

2

时，A=∅，不满足条件；
当

m

2

≤m²，即m≤0或m≥

1

2

时，A≠∅．
（1）若m≤0，则A={（x，y）|（x-2）²+y²≤m²，x，y∈R}表示以点（2，0）为圆心，
半径为|m|的圆面（m=0时是原点），
A∩B≠∅等价于点（2，0）到直线x+y=2m+1的距离不大于半径|m|，
即

|2-2m-1|

2

≤|m|，即2m²-4m+1≤0，即（m-1）²≤

1

2

，解得1-

2

2

≤m≤1+

2

2

，所以m∈∅；
（2）若m≥

1

2

，则A={（x，y）|

m

2

≤（x-2）²+y²≤m²，x，y∈R}表示以点（2，0）为圆心，
大圆半径为|m|，小圆半径为

m 2

的圆环．
当（2，0）∈B，即2m≤2≤2m+1，即

1

2

≤m≤1时，A∩B≠∅，满足条件；
若m＞1，则A∩B≠∅等价于点（2，0）到直线x+y=2m的距离不大于半径|m|，
即

|2-2m|

2

≤|m|，即m²-4m+2≤0，即（m-2）²≤2，解得2-

2

≤m≤2+

2

，所以1＜m≤2+

2

，满足条件．
综上，实数m的取值范围是[

1

2

，2+

2

]．

点评：本题考查了集合关系中的参数取值问题，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用，正确的分类是解答该题的关键，属有一定难度题目．