Question

已知椭圆的焦距为2，且过点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆C的左右焦点分别为，，过点的直线与椭圆C交于两点.

（1）当直线的倾斜角为时，求的长；

（2）求的内切圆的面积的最大值，并求出当的内切圆的面积取最大值时直线的方程.

 

Answer 1

（1）椭圆C的方程为；（2）（1）的长为；（2）当的内切圆的面积取最大值时直线的方程为.

【解析】

试题分析：（1）由已知得，且，联立可求得椭圆方程；

（2）（1）联立椭圆与直线方程，由弦长公式可直接求出的长；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立消去，得，而；

利用均值不等式和函数单调性的性质可得当时，有最大值3，这时的内切圆面积的最大值为，直线的方程为.

试题解析：（1）由已知，得，且，解得，

故椭圆C的方程为； 4分

（2）（1）由，消去得， 6分

则； 9分

（2）设直线的方程为，由，得，显然，

设，则有，

设的内切圆半径为，由可知，

当最大时，也最大，的内切圆面积也最大.

由 12分

令，则，且，则，

令，则，从而在区间上单调递增，故有

所以，即当，时，有最大值3，即，

这时的内切圆面积的最大值为，直线的方程为. 14分

考点：椭圆的基本性质、直线与椭圆的位置关系、函数与方程思想.