Question

已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，与过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线相交于A、B两点．若＝3，则k＝________．

 

 

Answer 1

k＝

【解析】定点F分线段AB成比例，从而分别可以得出A、B两点横坐标之间关系式、纵坐标之间关系式，再把A、B点的坐标代入椭圆方程＝1，四个方程联立方程组，解出根，得出A、B两点的坐标，进而求出直线AB的方程．

由已知e＝，所以a＝2b，

所以a＝c，b＝.椭圆方程＝1变为x2＋3y2＝c2.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又＝3，

所以(c－x1，－y1)＝3(x2－c，y2)，所以所以

＋3＝c2，①＋3＝c2，②

①－9×②，得(x1＋3x2)(x1－3x2)＋3(y1＋3y2)(y1－3y2)＝－8c2，所以×4c(x1－3x2)＝－8c2，

所以x1－3x2＝－c，所以x1＝c，x2＝c.从而y1＝－c，y2＝c，

所以A，B，故k＝.