Question

1．设实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$，则z=$\frac{y}{x}$-$\frac{x}{y}$的取值范围是[-$\frac{8}{3}$，$\frac{3}{2}$]，z=$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$的取值范围是[2，$\frac{10}{3}$]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，设k=$\frac{y}{x}$，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：设k=$\frac{y}{x}$，则z=$\frac{y}{x}$-$\frac{x}{y}$=k-$\frac{1}{k}$，z=$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$=k+$\frac{1}{k}$，
作出不等式组对应的平面区域如图：
k的几何意义为原点的直线的斜率，
由图象知OA的斜率最大，OC的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（3，1）
由$\left\{\begin{array}{l}{y-2=0}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），
则k_OA=2，k_OC=$\frac{1}{3}$，
则$\frac{1}{3}$≤k≤2，则z=$\frac{y}{x}$-$\frac{x}{y}$=k-$\frac{1}{k}$，在$\frac{1}{3}$≤k≤2为增函数，
则$\frac{1}{3}$-3≤z≤2-$\frac{1}{2}$，即-$\frac{8}{3}$≤z≤$\frac{3}{2}$，
z=$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$=k+$\frac{1}{k}$，在$\frac{1}{3}$≤k≤1上为减函数，则1≤k≤2为增函数，
则最小值为z=1+1=2，
当k=$\frac{1}{3}$时，z=$\frac{1}{3}$+3=$\frac{10}{3}$，
当k=2时，z=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$＜$\frac{10}{3}$，
则z=$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$=k+$\frac{1}{k}$的最大值为$\frac{10}{3}$，
则2≤z≤$\frac{10}{3}$，
故答案为：[-$\frac{8}{3}$，$\frac{3}{2}$]，[2，$\frac{10}{3}$]

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用直线的斜率公式是解决本题的关键．