Question

6．设f（x）是任意一个函数，其定义域在x轴上关于原点对称
（1）判断下列函数的奇偶性：F（x）=$\frac{1}{2}$[f（x）+f（-x）]，G（x）=$\frac{1}{2}$[f（x）-f（-x）]；
（2）求证：f（x）一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和．

Answer 1

分析 （1）根据条件知F（x）和G（x）的定义域都关于原点对称，并且可得到F（-x）=F（x），G（-x）=-G（x），从而便可得出F（x）为偶函数，G（x）为奇函数；
（2）由（1）显然有f（x）=F（x）+G（x），而F（x）为偶函数，G（x）为奇函数，从而便可得出f（x）一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和．

解答 解：（1）f（x）的定义域关于原点对称；
∴F（x），G（x）的定义域关于原点对称；
又F（-x）=$\frac{1}{2}[f（-x）+f（x）]=F（x）$，$G（-x）=\frac{1}{2}[f（-x）-f（x）]=-G（x）$；
∴F（x）为偶函数，G（x）为奇函数；
（2）证明：由（1）知F（x）为偶函数，G（x）为奇函数；
且f（x）=F（x）+G（x）；
∴f（x）一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和．

点评 考查函数定义域的概念及其求法，奇函数、偶函数的定义，及奇函数、偶函数定义域的特点．