Question

已知f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ(n∈N^*),且y=f(x)的图象经过(1,n²),数列{a_n}为等差数列.

(1)求数列{a_n}的通项公式;

(2)当n为奇数时,设g(x)=［f(x)-f(-x)］,是否存在自然数m和M,使不等式m＜g()＜M恒成立?若存在,求出M-m的最小值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解：(1)由题意,f(1)=n²,即a₀+a₁+a₂+…+a_n=n²,令n=1,a₀+a₁=1,

∴a₁=1-a₀.令n=2,a₀+a₁+a₂=4,

∴a₂=4-(a₀+a₁)=3.

    令n=3,a₀+a₁+a₂+a₃=9,

∴a₃=9-(a₀+a₁+a₂)=5.

∵{a_n}为等差数列.

∴公差d=a₃-a₂=2.

∴a₁=3-2=1.

∴a₀=0,a_n=2n-1(n∈N^*).

(2)f(x)=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ,

∵n为奇数,

∴f(-x)=-a₁x+a₂x²-a₃x³+…+a_n-1x^n-1-a_nxⁿ,

g(x)=［f(x)-f(-x)］=a₁x+a₃x³+…+a_nxⁿ.

g()=+5()³+9()⁵+…+(2n-1)·()ⁿ,

∴g()=()³+5()⁵+…+(2n-1)·()ⁿ⁺².

    两式相减整理得

g()=-()ⁿ-n()ⁿ.

    令C_n=n·()ⁿ,

∵C_n+1-C_n=()ⁿ(1-n)≤0(n∈N^*),∴C_n+1≤C_n,C_n随n的增大而减小.

    又·()ⁿ随n的增大而减小,

∴g()为n的增函数.当n=1时,g()_min=,

    而-()ⁿ-n()ⁿ＜,

∴≤g()＜.

∴使m＜g()＜M恒成立的自然数m的最大值为0,M的最小值为2.

∴M-m的最小值为2.