Question

9．如图，已知正三棱锥V-ABC，底面积为16$\sqrt{3}$，一条侧棱长为2$\sqrt{6}$，计算它的高和斜高．

Answer 1

分析 取AB中点D，连结CD，作VO⊥底面ABC，垂足为O，由已知求出AB=8，OC=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，DO=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，由此利用勾股定理能求出它的高和斜高．

解答 解：取AB中点D，连结CD，作VO⊥底面ABC，垂足为O，
∵正三棱锥V-ABC，底面积为16$\sqrt{3}$，一条侧棱长为2$\sqrt{6}$，
∴O∈CD，$\frac{1}{2}×AB×AB×sin60°$=$16\sqrt{3}$，解得AB=8，
∴OC=$\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}\sqrt{64-16}$=$\frac{2}{3}×4\sqrt{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵侧棱长VO=2$\sqrt{6}$，∴高VO=$\sqrt{（2\sqrt{6}）^{2}-（\frac{8\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∵DO=$\frac{1}{3}CD$=$\frac{1}{3}\sqrt{64-16}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴斜率VD=$\sqrt{V{O}^{2}+D{O}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{6}）^{2}+（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{66}}{3}$．

点评 本题考查正三棱锥的高和斜高的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意勾股定理的合理运用．