Question

（本题满分15分）已知定义在上的函数，其中为常数。

 （1）若是函数的一个极值点，求的值； （2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围； （3）若，在处取得最大值，求实数的取值范围。

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

（1），（1分）

因为是的一个极值点，所以，所以；（3分）

（2）①当时，在区间上是增函数，所以符合题意，（5分）

 ② 当时，，令得：。

当时，对任意，所以符合题意；

当时，时，，所以，

所以符合题意。  （8分）

综上所述得的取值范围为：                                （9分）

（3）。                    

  ，               （11分）

令，即，（*）显然

设方程（*）的两个根分别为，由（*）式得，

不妨设。

当时，为极小值，

所以在上的最大值只能是或；

当时，由于在上是递减函数，所以最大值为

所以在上的最大值只能是或；                  （14分）

由已知得在处取得最大值，所以；

即，解得，

又因为，所以的取值范围为。                      （15分）