Question

给定为整数的k（k∈N^*）叫做希望数，则区间[1，2012]内的所有希望数的和为________．

Answer 1

2026
分析：可利用对数换底公式将a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），转化为a_n=，从而可求得第一个希望数为2，
第二个希望数为6，…第k个希望数为2^k-2，利用数列的分组求和法即可求得答案．
解答：∵a_n=log_n+1（n+2）=，
∴a₁•a₂=•=2，即第一个希望数为2=2²-2，
又a₁•a₂…a₆=•…=3，
∴第二个希望数为6=2³-2，
…
∴第k个希望数为2^k+1-2，
∵2¹⁰=1024＜2012，2¹¹=2048＞2012，
∴区间[1，2012]内的所有希望数的和
S=（2²-2）+（2³-2）+…+（2¹⁰-2）
=（2²+2³+…+2¹⁰）-2×9
=-18
=2¹¹-22
=2048-22
=2026．
故答案为：2026．
点评：本题考查数列的求和，考查对数的换底公式的应用与数列的分组求和法的应用，综合性强，有一定难度，属于中档题．