Question

（2012•株洲模拟）给定an=logn+1(n+2)(n∈N*)，使a1•a2…ak为整数的k（k∈N^*）叫做希望数，则区间[1，2012]内的所有希望数的和为

2026

．

Answer 1

分析：可利用对数换底公式将a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），转化为a_n=

lg(n+2)

lg(n+1)

，从而可求得第一个希望数为2，
第二个希望数为6，…第k个希望数为2^k-2，利用数列的分组求和法即可求得答案．

解答：解：∵a_n=log_n+1（n+2）=

lg(n+2)

lg(n+1)

，
∴a₁•a₂=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

=2，即第一个希望数为2=2²-2，
又a₁•a₂…a₆=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

…

lg8

lg7

=3，
∴第二个希望数为6=2³-2，
…
∴第k个希望数为2^k+1-2，
∵2¹⁰=1024＜2012，2¹¹=2048＞2012，
∴区间[1，2012]内的所有希望数的和
S=（2²-2）+（2³-2）+…+（2¹⁰-2）
=（2²+2³+…+2¹⁰）-2×9
=

4(1-29)

1-2

-18
=2¹¹-22
=2048-22
=2026．
故答案为：2026．

点评：本题考查数列的求和，考查对数的换底公式的应用与数列的分组求和法的应用，综合性强，有一定难度，属于中档题．