Question

一个多面体的三视图及直观图如图所示，M，N分别是A₁B，B₁C₁的中点．
(Ⅰ)求证：MN⊥平面A₁BC；
(Ⅱ)求直线BC₁和平面A₁BC所成角的大小；
(Ⅲ)求二面角A-A₁B-C的大小．

Answer 1

解：由三视图可知，在这个多面体的直观图中，AA1⊥平面ABC， 且AC⊥BC，AC=BC=CC1=a， (Ⅰ)连接AC1，AB1，因为BC⊥平面ACC1A1， 所以BC⊥AC1，在正方形ACC1A1中，A1C⊥AC1， 又因为BC∩A1C=C， 所以AC1⊥平面A1BC， 由正方形性质知AB1过A1B的中点M， 在△AB1C1中，MN∥AC1， 所以MN⊥平面A1BC。
(Ⅱ)由题意CA，CB，CC1两两垂直， 故以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系， 又AC=BC=CC1=a，则B(0，a，0)，B1(0，a，a)，A(a，0，0)， ， 则， 又AC1⊥平面A1BC， 故为平面A1BC的法向量，， 所以，， ， 因此直线BC1和平面A1BC所成角的大小为30°。 (Ⅲ)AB中点E的坐标为， 易知为平面AA1B的法向量，又为平面A1BC的法向量， 设二面角A-A1B-C为θ， 则， 由题意，知θ为锐角，所以θ=60°， 即二面角A-A1B-C为60°。