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(2011•淄博二模)一个多面体的三视图及直观图如图所示:
(Ⅰ)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值:
(Ⅱ)试在平面ADD1A1中确定一个点F,使得FB1⊥平面BCC1B1
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求二面角F-CC1-B的余弦值.
分析:(I)建立空间直角坐标系,设AB=2A1B1=2DD1=2a,求出
AB1
=(-a,a,a),
DD1
=(0,0,a),利用向量的夹角公式,可得结论;
(II)由FB1⊥平面BCC1B1,利用向量的数量积公式,即可得出结论;
(III)确定
FB1
为平面BCC1B1的法向量,求出平面FCC1的法向量,利用向量的夹角公式,可得结论.
解答:解;依题意知,该多面体为底面是正方形的四棱台,且D1D⊥底面ABCD,AB=2A1B1=2DD1=2a…(2分)
以D为原点,DA、DC、DD1所在的直线为x,y,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2a,0,0),B1(a,a,a),D1(0,0,a),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),C1(0,a,a)…(4分)
(Ⅰ)∵
AB1
=(-a,a,a),
DD1
=(0,0,a)
∴cos<
AB1
DD1
>=
AB1
DD1
|
AB1
||
DD1
|
=
3
3

即直线AB1与DD1所成角的余弦值为
3
3
…(6分)
(II)设F(x,0,z),∵
BB1
=(-a,a,a),
BC
=(-2a,0,0),
FB1
=(a-x,a,a-z)
由FB1⊥平面BCC1B1
-a(a-x)-a2+a(a-z)=0
-2a(a-x)
x=a
z=0

∴F(a,0,0)即F为DA的中点…(9分)
(III)由(II)知
FB1
为平面BCC1B1的法向量.
n
=(x1,y1,z,)为平面FCC1的法向量.
CC1
=(0,-a,a),
FC
=)-a,2a,0)
-ay1+az1=0
-ax1+2ay1=0

令y1=1得x1=2,z1=1
n
=(2,1,1)
∴cos<
n
FB1
>=
n
FB1
n
||
FB1
|
=
3
3

即二面角F-CC1-B的余弦值为
3
3
…(12分)
点评:本题考查线面垂直,考查空间角,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
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-1
-1

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(2011•淄博二模)椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,短轴两端点B1、B2,已知F1、F2、B1、B2四点共圆,且点N(0,3)到椭圆上的点最远距离为5
2

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(2)设斜率为k(k≠0)的直线m与椭圆C相交于不同的两点E、F,Q为EF的中点,问E、F两点能否关于过点P(0,
3
3
)、Q的直线对称?若能,求出k的取值范围;若不能,请说明理由.

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x≥1
x+y≤4
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,且目标函数3x+y的最大值为7,最小值为1,则
a+b+c
a
=(  )

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m
=(sin2
B+C
2
,1),
n
=(cos2A+
7
2
,4),且
m
n

(Ⅰ)求角A;
(Ⅱ)当a=
3
,S△ABC=
3
2
时,求边长b和角B的大小.

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