Question

12．已知函数f（x）=-x²+2x，g（x）=kx，定义域都是[0，2]，若|f（x）+g（x）+m|＜1，恒成立，求证：|m|＜1且|k|＜2$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 由函数f（x）=-x²+2x，g（x）=kx，定义域都是[0，2]，若|f（x）+g（x）+m|＜1，恒成立，令x=0，可证得：|m|＜1，
x∈（0，2]时，采用分离变量的方法，结合基本不等式法和导数法分别求出相应的最值，建立不等关系，可证得：|k|＜2$\sqrt{2}$-2

解答 证明：∵函数f（x）=-x²+2x，g（x）=kx，定义域都是[0，2]，若|f（x）+g（x）+m|＜1，恒成立，
即|-x²+（2+k）x+m|＜1在[0，2]上恒成立，
当x=0时，|m|＜1，
当x∈（0，2]时，
即-1＜-x²+（2+k）x+m＜1在（0，2]上恒成立，
即x²-m-1＜（2+k）x…①且x²-m+1＞（2+k）x…②在（0，2]上恒成立，
即2+k＞x-$\frac{m+1}{x}$且2+k＜x-$\frac{m-1}{x}$在（0，2]上恒成立，
由x-$\frac{m-1}{x}$≥$2\sqrt{1-m}$＞2$\sqrt{2}$
故2+k＜2$\sqrt{2}$，即k＜2$\sqrt{2}$-2，
令y=x-$\frac{m+1}{x}$，则y′=1+$\frac{m+1}{{x}^{2}}$＞0恒成立，
故y=x-$\frac{m+1}{x}$在（0，2]上为增函数，当x=2时，y取最大值2-$\frac{m+1}{2}$＞2，
即2+k＞2，解得k＞0，
综上所述：0＜k＜2$\sqrt{2}$-2，
则|k|＜2$\sqrt{2}$-2

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，掌握分离变量的方法是本题的关键．