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    (本题满分14分)

    在三棱锥中,是边长为的正三角形,平面平面,

    ,、分别为、的中点.

       ⑴证明：；

       ⑵(理)求二面角的正切值；

       ⑶求点到平面的距离.

    解：

    解法：⑴取中点,连结、.

    ∵,∴,,

    ∴平面,又平面,∴.       ……4分

       ⑵∵平面,平面,∴平面平面.

    过作于,则平面,

    过作于,连结,则,为二面角的平面角.

    ∵平面平面,,∴平面.

    又平面,∴.∵,

    ∴,且.

    在正中,由平几知识可求得,

    在中,

    ∴二面角的正切值为.   ……8分

      ⑶在中,,∴,.

    设点到平面的距离为,

    ∵,平面,∴,

    ∴.即点到平面的距离为.  ……14分

    解法：⑴取中点,连结、.∵,,

    ∴,.∵平面平面,

    平面平面,∴平面,∴.

    如图所示建立空间直角坐标系,则,,

    ,,∴,,

    ∵,∴.   ……6分

      ⑵∵,,又,∴,.

    设为平面的一个法向量,则,

    取,,,∴.又为平面的一个法向量,

    ∴,得

    ∴.即二面角的正切值为.      ……10分

       ⑶由⑴⑵得,又为平面的一个法向量,,

    ∴点到平面的距离.……14分

    练习册系列答案
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    π
    3
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