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(2012•姜堰市模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,已知AB=AC=2,PA=1,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°,点D、E分别为AB、PC的中点.
(1)在AC上找一点M,使得PA∥面DEM;
(2)求证:PA⊥面PBC;
(3)求三棱锥P-ABC的体积.
分析:(1)M为AC的中点时,PA∥面DEM,利用三角形的中位线性质,证明EM∥PA,从而可证PA∥面DEM;
(2)由AB=AC=2,PA=1,∠PAB=∠PAC=60°,利用余弦定理求出PB=PC=
3
,从而可得AP⊥PB,AP⊥PC,进而可证PA⊥面PBC;
(3)在△PBC中,PB=PC=
3
,BC=2,从而可得△PBC的面积,进而可求体积.
解答:(1)解:M为AC的中点时,PA∥面DEM.连接EM,DM

∵M为AC的中点,E为PC的中点
∴EM∥PA
∵EM?面DEM,PA?面DEM
∴PA∥面DEM;
(2)∵AB=AC=2,PA=1,∠PAB=∠PAC=60°,
∴PB=PC=
12+22-2×1×2×cos60°
=
3

∴AB2=AP2+PB2,AC2=AP2+PC2
∴AP⊥PB,AP⊥PC
∵PB∩PC=P
∴PA⊥面PBC;
(3)在△PBC中,PB=PC=
3
,BC=2,
S△PBC=
1
2
×2×
3-1
=
2

VP-ABC=
1
3
S△PBC×PA=
1
3
×
2
×1
=
2
3
点评:本题考查线面平行、线面垂直,考查三棱锥体积的计算,正确掌握线面平行、线面垂直的判定是关键.
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