Question

17．已知点P（x，y）在圆x²+y²=1上运动，则$\frac{y}{x+2}$的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 设$\frac{y}{x+2}$=k，则kx-y+2k=0，根据圆心（0，0）到直线kx-y+2k=0的距离小于等于1，利用距离公式求出k的最大值．

解答 解：设$\frac{y}{x+2}$=k，则kx-y+2k=0．
∵点P（x，y）在圆x²+y²=1上运动，
∴圆心（0，0）到直线kx-y+2k=0的距离小于等于1，
∴$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{y}{x+2}$的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，本题解题的关键是利用数形结合的思想来解出斜率的值，本题是一个中档题目．