Question

9．已知f（x）=x²+ax+$\frac{{{a^2}+b-1}}{a}$．
（1）若b=-2，对任意的x∈[-2，2]，都有f（x）＜0成立，求实数a的取值范围；
（2）设a≤-2，若任意x∈[-1，1]，使得f（x）≤0成立，求a²+b²-8a的最小值，当取得最小值时，求实数a，b的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＜0}\\{f（2）＜0}\end{array}\right.$，解得即可，
（2）由题意可得f（x）_max=f（-1）≤0，再根据基本不等式即可求出a²+b²-8a的最小值．

解答 解：（1）$f（x）={x^2}+ax+\frac{{{a^2}+b-1}}{a}，x∈[{-2，2}]$，对于x∈[-2，2]恒有f（x）＜0成立，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{f（{-2}）＜0}\\{f（2）＜0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{4-2a+\frac{{{a^2}-2-1}}{a}}\\{4+2a+\frac{{{a^2}-2-1}}{a}＜0}\end{array}}\right.＜0$，解得$0＜a＜\frac{{\sqrt{13}-2}}{3}$，…（6分）
（2）若任意x∈[-1，1]，使得f（x）≤0成立，又a≤-2，
f（x）的对称轴为$x=-\frac{a}{2}≥1$，在此条件下x∈[-1，1]时，f（x）_max=f（-1）≤0，
∴$f（{-1}）=1+\frac{b-1}{a}≤0$，
及a≤-2得a+b-1≥0，⇒b≥1-a＞0⇒b²≥（1-a）²，
于是${a^2}+{b^2}-8a≥{a^2}+{（{1-a}）^2}-8a=2{（{a-\frac{5}{2}}）^2}-\frac{23}{2}$，
当且仅当a=-2，b=3时，a²+b²-8a取得最小值为29．

点评 本题考查了参数的取值范围，以及函数恒成立的问题，关键是转化，属于中档题．