Question

20．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，经过点F作斜率为1的直线，与抛物线C交于A，B两点．
（1）求线段AB的长度；
（2）点P在x轴上，且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-3，求点P的横坐标．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=x-1，联立直线与抛物线方程可求x₁+x₂，x₁x₂，代入弦长公式|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，可求线段AB的长度；
（2）P在x轴上，设P（x，0），求得向量$\overrightarrow{PA}$=（x₁-x，y₁），$\overrightarrow{PB}$=（x₂-x，y₂），根据向量的数量积的坐标表示，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=x²-6x-3，即可求得x的值．

解答 解：（1）∵抛物线y²=4x上的焦点F（1，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则可设直线AB的方程为y=x-1
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得x²-6x+1=0，
由韦达定理可得：x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{32}$=8，
线段AB的长度8；
（2）P在x轴上，设P（x，0），
$\overrightarrow{PA}$=（x₁-x，y₁），$\overrightarrow{PB}$=（x₂-x，y₂），
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（x₁-x）•（x₂-x）+y₁y₂=x₁x₂-x（x₁+x₂）+x²+x₁x₂-（x₁+x₂）+1，
=1-6x+x²+1-6+1，
=x²-6x-3，
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-3，
x²-6x-3=-3，
解得：x=0或x=6，
点P的横坐标（0，0）或（6，0）．

点评 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．