Question

如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A（-2，0）、B（2，0）、C（0，-1）三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D（0，-2）、作平行于x轴的直线
l₁、l₂．
（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2）求证以ON为直径的圆与直线l₁相切；
（3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线l₂的距离之和等于线段MN的长．

Answer 1

分析：（1）设函数解析式为y=ax²+bx+c，然后利用待定系数法求解即可；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），然后代入抛物线方程，用含y₂的式子表示出ON，设ON的中点E，分别过点N、E向直线l、作垂线，垂足为P、F，利用梯形的中位线定理可得出EF，与所求ON的值进行比较即可得出结论；
（3）过点M作MH丄NP交NP于点H，在RT△MNH中表示出MN²，结合直线方程将MN²化简，求出MN，然后延长NP交l₂于点Q，过点M作MS丄l₂交l₂于点S，则可证M、N两点到直线l₂的距离之和等于线段MN的长．

解答：（1）解：设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
由函数经过（-2，0），B（2，0），C（0，-1）三点可得：

0=4a-2b+c  0=4a+2b+c -1=c

，解得a=

1

4

，b=0，c=-1，
所以y=

1

4

x²-1；
（2）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），因为点M、N在抛物线上，

所以 y₁=

1

4

x

2 1

-1，y₂=

1

4

x

2 2

-1，所以

x

2 2

=4（y₂+1）；
又ON²=x₂²+y₂²=4（y₂+1）+y₂²=（y₂+2）²，所以ON=|2+y₂|，
又因为y₂为正，所以ON=2+y₂，
设ON的中点E，分别过点N、E向直线l、作垂线，垂足为P、F，则EF=

OC+NP

2

=1+

y2

2

，
所以ON=2EF，即ON的中点到直线l₁的距离等于ON长度的一半，
所以以ON为直径的圆与l₁相切；
（3）解：过点M作MH⊥NP交NP于点H，则MN²=MH²+NH²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²，
又y₁=kx₁，y₂=kx₂，所以（y₂-y₁）²=k²（x₂-x₁）²
所以MN²=（1+k²）（x₂-x₁）²；
又因为点M，N在y=kx的图象上又在抛物线上，
所以kx=

1

4

x²-1，即x²-4kx-4=0，所以x=

4k± 16k2+16

2

=2k±2

1+k2

所以（x₂-x₁）²=16（1+k²）
所以MN²=16（1+k²）²，MN=4（1+k²）．
证明：延长NP交l₂于点Q，过点M作MS丄l₂交l₂于点S，
则MS+NQ=y₁+2+y₂+2=

1

4

x

2 1

-1+

1

4

x

2 2

-1+4=

1

4

（

x

2 1

+

x

2 2

）+2
又

x

2 1

+

x

2 2

=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=16k²+8，
所以MS+NQ=4k²+2+2=4（1+k²）=MN，即M、N两点到l₂距离之和等于线段MN的长．

点评：本题考查待定系数法求函数解析式，考查根与系数的关系，梯形的中位线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．