Question

如图，已知三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，PC=BC=4，AB=2，E、F分别是PB、PA的中点．
（1）求证：侧面PAB⊥侧面PBC；
（2）求三棱锥P-CEF的外接球的表面积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,球内接多面体

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得AB⊥PC，AB⊥BC，从而AB⊥侧面PBC，由此能证明侧面PAB⊥侧面PBC．
（2）由已知得CE⊥PB，CE⊥EF．从而EF⊥侧面PBC，故EC、EF、EP两两垂直，从而三棱锥P-CEF的外接球就是以EC、EF、EP为长、宽、高的长方体的外接球，由此能求出三棱锥P-CEF的外接球的表面积．

解答： （1）证明：∵PC⊥平面ABC，∴AB⊥PC，
又AB⊥BC，则AB⊥侧面PBC，AB?侧面PAB，
故侧面PAB⊥侧面PBC．（6分）
（2）解：∵PC=BC=4，E为PB的中点，∴CE⊥PB，
而侧面PAB垂直侧面PBC于PB，∴CE⊥EF．
由E、F分别是PB、PA的中点有EF∥AB，
则EF⊥侧面PBC．
故EC、EF、EP两两垂直，（9分）
三棱锥P-CEF的外接球就是以EC、EF、EP为长、宽、高的长方体的外接球，
由已知得EC=EP=2

2

，EF=1，
其外接球的直径是

8+8+1

=

17

，
故所求三棱锥P-CEF的外接球的表面积是=17π．（12分）

点评：本题考查侧面PAB⊥侧面PBC的证明，考查三棱锥P-CEF的外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．