Question

【题目】已知函数，

（1）若在处取得极值，求的值；

（2）求在区间上的最小值；

（3）在（1）的条件下，若，求证：当，恒有

Answer 1

【答案】(1) (2) 当时， 在区间上的最小值为；当时， 在区间上的最小值为（3）见解析

【解析】试题分析：(1) ,又，易得： ，检验满足题意即可；

（2）对分类讨论，明确函数的单调性，从而得到在区间上的最小值；

（3）欲证，只需证，即证，即，

设，求函数的最小值大于零即可.

试题解析：

（1）由，定义域为

得

因为函数在处取得极值，

所以，即，解得

经检验，满足题意，所以。

（2）由（1）得 ，定义域为

当时，由得，且

当时， ， 单调递减，当时， ， 单调递增

所以在区间上单调递增，最小值为；

当时，

当时， ， 单调递减，当时， ， 单调递增

所以函数在处取得最小值

综上，当时， 在区间上的最小值为；

当时， 在区间上的最小值为

（3）证明：由得

当时， ，

欲证，只需证

即证，即

设

则

当时， ，所以在区间上单调递增。

所以当时， ，即

故

所以当时， 恒成立。