Question

如图，三棱柱中，平面AC′⊥面BB′C′C，∠CC′B′=60°，BC=CC′AC=2，点D、E分别为棱AB，A′C′的中点
（1）求证：DE∥平面BB′C′C；
（2）求四棱锥D-ACEA′的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）取BC 的中点F，连DF、FC'，可证出四边形C'EDF是平行四边形，从而DE∥FC'，结合线面平行的判定定理，可得DE∥平面BB'C'C．
（2）在平面BC'内作B'G⊥CC'，垂足为G，可得B'G=且B'G⊥平面ACC'A'．由平行四边形的性质，得F到平面ACC'A'的距离为B'G长的一半，得四棱锥D-ACEA′的高为，算出梯形ACEA'的面积S=3，再用锥体体积公式即可得到四棱锥D-ACEA'的体积．
解答：解：（1）取BC 的中点F，连DF，FC'，
∵D为AB的中点，E为A'C'的中点，
∴，，可得，
∴平行四边形C'EDF，得DE∥FC'，---------------4分
又∵DE?平面BB'C'C，FC'?平面BB'C'C，
∴DE∥平面BB'C'C．--------------6分
（2）在平面BC'内作B'G⊥CC'，垂足为G，
∵Rt△B'GC'中，∠B'C'G=60°，
∴B'G=B'C'=
∵平面AC′⊥面BB′C′C，BG⊥CC'
∴B'G⊥平面ACC'A'．
∵平行四边形BB'C'C 中，F为BC的中点，
∴F到C'C 的距离等于，即F到平面ACC'A'的距离为．-----------9分
又∵梯形ACEA'的面积S==3
∴四棱锥D-ACEA'的体积V=．--------------12分
点评：本题给出特殊三棱柱，求证线面平行并且求锥体体积，着重考查了空间平行、垂直位置关系的证明和体积求法等知识，属于基础题．