Question

15．著名英国数学和物理学家Issac Newton（1643年-1727年）曾提出了物质在常温环境下温度变化的冷却模型．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ₁℃，空气的温度是θ₀℃，tmin后物体温度θ℃，可由公式θ=θ+（θ-θ）e^-kt（e为自然对数的底数）得到，这里k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正的常数．现将一个原来温度为62℃的物体放在15℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是52℃．
（Ⅰ）求k的值（精确到0.01）；
（Ⅱ）该物体从原来的62℃开始冷却多少min后温度是32℃？
（参考数据：ln$\frac{37}{47}$≈-0.24，ln$\frac{27}{47}$≈-0.55，ln$\frac{17}{47}$≈-1.02）

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过将θ₁=62，θ₀=15，t=1，θ=52代入公式θ=θ+（θ-θ）e^-kt计算可知k的值；
（Ⅱ）通过（I）可知公式θ=15+47e^-0.24t，令θ=32计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知，θ₁=62，θ₀=15，当t=1时，θ=52，
于是52=15+（62-15）e^-k，
化简得：k=-ln$\frac{37}{47}$，
∵ln$\frac{37}{47}$≈-0.24，
∴k=0.24；
（Ⅱ）由（I）可知θ=15+47e^-0.24t，
∴当θ=32时，32=15+47e^-0.24t，
解得：t=4.2．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．