Question

【题目】已知二次项系数是1的二次函数．

当，时，求方程的实根；

设b和c都是整数，若有四个不同的实数根，并且在数轴上四个根等距排列，试求二次函数的解析式，使得其所有项的系数和最小．

Answer 1

【答案】(1)，，，；(2)

【解析】

由题意可得，设，则，求得t，进而得到x的值；

，即为，由题意不妨设四个根分别为，，，，可得四个根的和为，即；再由韦达定理，消去d，可得b，c的方程，结合b，c为正整数和取得最小值，化简运算和推理可得b，c的最小值，即可得到所求解析式．

当，时，，

设，则，

，解得或，

当时，，解得或；

当时，，解得：或，

综上所述：的实根有：，，，；

，即为，

即有，

，

可得，或，

不妨设四个根分别为，，，，

可得四个根的和为，即；

又设，，

消去d，可得，

可得，

由b，c为整数，可得也为正整数的平方，

设，k为正整数，

即有，即为，

由为正整数的平方，且，

由取得最小值，

可得b的最小值为22，，，

则，其所有项的系数和最小．