Question

10．已知sin（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{5π}{6}$，则cos（$\frac{π}{2}$+x）=-$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$．

Answer 1

分析 由同角三角函数基本关系可得cos（x+$\frac{π}{6}$），再由诱导公式以及和差角的三角函数公式整体代入计算可得．

解答 解：∵$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{5π}{6}$，∴$\frac{π}{2}$＜x+$\frac{π}{6}$＜π，
由sin（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$可得cos（x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，
∴cos（$\frac{π}{2}$+x）=-sinx=-sin[（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$）]
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$cos（x+$\frac{π}{6}$）
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{1}{2}$×（-$\frac{4}{5}$）=-$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$，
故答案为：-$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题考查三角函数化简求值，涉及同角三角函数基本关系以及和差角的三角函数公式，属基础题．