Question

已知函数f(x)=

f1(x)，x∈[0 1 2 ) f2(x)，x∈[ 1 2 ，1]

其中f1(x)=-2(x-

1

2

)2+1，f2(x)=-2x+2
（1）如图，在下面坐标系上画出y=f（x）的图象；
（2）设y=f2(x)(x∈[

1

2

，1])的反函数为y=g（x），a₁=1，a₂=g（a₁），…，
a_n=g（a_n-1），求数列{a_n}的通项公式，并求

lim

n→∞

an；
（3）若x0∈[0，

1

2

)，x1=f(x1)，f(x1)=x0，求x₀

Answer 1

分析：（1）分别作出函数在区间[0，

1

2

），[

1

2

，1]上的图象；
（2）求出函数y=g（x）的解析式，利用递推法，及等比数列的求和公式求出a_n，并求其极限；
（3）x1=f1(x0)=1-2(x0-

1

2

)2∈[

1

2

，1]，f2(x1)=2-2[1-2(x0-

1

2

)2]=4(x0-

1

2

)2
由f₂（x₁）=x₀，整理得4x₀²-5x₀+1=0，计算出x₀．

解答：解（1）如图所示：
说明：图象过(0，

1

2

)、(

1

2

，1)、（1，0）点；
在区间（0，

1

2

）上的图象为上凸的曲线段；
在区间[

1

2

，1]上的图象为直线段．

（2）f₂（x）=-2x-2，x∈[

1

2

，1]的反函数为：
y=1-

x

2

，x∈[0，1]（5分）
由已知条件得：
a₁=1
a2=1-

1

2

a1=1-

1

2

a3=1-

1

2

a2=1-

1

2

+(

1

2

)2
a4=1+(-

1

2

)1+(-

1

2

)2+(-

1

2

)3，
∴an=(-

1

2

)0+(-

1

2

)1+(-

1

2

)2++(-

1

2

)n-1=

1-(- 1 2 )n

1-(- 1 2 )

即an=

2

3

[1-(

1

2

)n]，（8分）
∴

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

2

3

[1-(

1

2

)n]=

2

3

（10分）

（3）：由已知x0∈(0，

1

2

)，
∴x1=f1(x0)=1-2(x0-

1

2

)2，
由f₁（x）的值域，得x1∈[

1

2

，1]
∴f2(x1)=2-2[1-2(x0-

1

2

)2]=4(x0-

1

2

)2
由f₂（x₁）=x₀，整理得4x₀²-5x₀+1=0，
解得x0=1，x0=

1

4

因为x0∈(0，

1

2

)，所以x0=

1

4

（14分）

点评：本小题主要考查函数及数列的基本概念和性质，考查分析、归纳、推理、运算的能力．