Question

4．设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₃=9，a₅+b₅=25．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n}，{b_n}的前n项和S_n和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过将各项均用首项和公差（公比）表示出来，然后联立方程组，计算即得公差、公比，进而可得结论；
（2）通过（1），利用等差、等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁=b₁=1，a₃+b₃=9，a₅+b₅=25，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（1+2d）+{q}^{2}=9}\\{（1+4d）+{q}^{4}=25}\end{array}\right.$，
整理得：q⁴-2q²-8=0，
解得：q²=4或q²=-2（舍），
又∵数列{b_n}是各项都为正数的等比数列，
∴q=2，d=2，
∴a_n=2n-1，${b}_{n}={2}^{n-1}$；
（2）由（1）可知S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，T_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于基础题．