Question

如图所示的集合体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．A，A′，B，B′分别为

CD

，

C′D′

，

DE

，

D′E′

的中点，O1，

O

′ 1

，O2，

O

′ 2

分别为CD，C′D′，DE，D′E′的中点．
（1）证明：

O

′ 1

，A′，O2，B四点共面；
（2）设G为A A′中点，延长A′

O

′ 1

到H′，使得

O

′ 1

H′=A′

O

′ 1

．证明：B

O

′ 2

⊥平面H′B′G′．

Answer 1

分析：（1）利用共面的判断条件证明直线平行即可．
（2）利用线面垂直的判定定理进行判断．

解答：证明：（1）∵A，A′分别为

CD

，

C′D′

中点，∴O1′A′∥O1A
连接BO₂∵直线BO₂是由直线AO₁平移得到
∴AO₁∥BO₂∴O1′A′∥BO2
∴O1′，A′，O2，B共面．
（2）将AO₁延长至H使得O₁H=O₁A，连接HO1′，HB，H′H
∴由平移性质得O1′O2′=HB
∴BO2′∥HO1′，
∵A′G=H′O1′，H′H=A′H′，∠O1′H′H=∠GA′H′=

π

2

∴△GA′H′≌△O1′H′H，
∴∠H′O1′H+GH′A=

π

2

，
∴O1′H⊥H′G，
∴BO2′⊥H′G．
∵O1′O2′⊥B′O2′，O1′O2′⊥O2′O2，B′O2′∩O2′O2=O2′
∴O1′O2′⊥平面B′BO2O2′
∴O1′O2′⊥BO2′
∴BO2′⊥H′B′，
∵H'B'∩H'G=H'
∴BO2′⊥平面H′B′G．

点评：本题主要考查线面垂直的判定定理，综合性较强．