Question

（2013•杭州一模）已知集合A={（x，y）|x（x-1）+y（y-1）≤r+

1

2

}，集合B={（x，y）|x²+y²≤r²}，若A?B，则实数r可以取的一个值是（　　）

• A．

  2

  +1
• B．

  3

• C．2
• D．1+

  2

  2

Answer 1

分析：由r的取值范围，化简集合A可得：当r＜-1时集合A为空集；当r=-1时集合A={（

1

2

，

1

2

）}．当r＞-1时集合A表示以点C（

1

2

，

1

2

）为圆心、半径为

r+1

的圆及其内部．而集合B在r=0时等于{（0，0）}；在r≠0时表示以原点O为圆心、半径为|r|的圆及其内部．根据A?B可得A为空集、或者两圆内含或内切，求出圆心间的距离建立关于r的不等式，将A、B、C、D中的r值代入加以检验即可得到答案．

解答：解：对于集合A，将方程x（x-1）+y（y-1）≤r+

1

2

化简，得（x-

1

2

）²+（y-

1

2

）²≤r+1．
当r＜-1时，集合A表示空集；
当r=-1时，集合A表示单元素集合{（

1

2

，

1

2

）}；
当r＞-1时，集合A表示圆（x-

1

2

）²+（y-

1

2

）²=r+1及其内部，圆心为C（

1

2

，

1

2

），半径为

r+1

．
对于集合B={（x，y）|x²+y²≤r²}，当r=0时B={（0，0）}；
当r≠0时表示以原点O为圆心、半径为|r|的圆及其内部，
∴根据A?B，可得A为空集或圆C在圆O内部，
因此r≤-1，或者圆（x-

1

2

）²+（y-

1

2

）²=r+1与圆x²+y²=r²内含或内切，即

( 1 2 )2+( 1 2 )2

≤|r|-

r+1

，
对照A、B、C、D各项，只有r=

2

+1满足上述不等式．
故选：A．

点评：本题给出与圆方程有关的集合A、B，在满足A?B的情况下求参数r的取值范围．着重考查了圆的标准方程、两点间的距离公式和圆与圆的位置关系等知识，考查了计算能力与分类讨论的数学思想，属于中档题．