Question

【题目】设a是实数，关于z的方程(z2－2z+5)(z2+2az+1)=0有4个互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共圆，则实数a的取值范围是________.

Answer 1

【答案】{a|－1<a<1}∪{－3}

【解析】

由z2－2z+5=0，得.

因为z2+2az+1=0有两个不同的根，所以△=4(a2－1)≠0，故a≠±1.

若△=4(a2－1)<0，即－1<a<1时，.因为在复平面上对应的点构成等腰梯形或者矩形，此时四点共圆，所以，满足条件.

若△=4(a2－1)>0，即|a|>1时，是实根，在复平面上对应的点在实轴上，仅当z1、z2对应的点在以对应的点为直径的圆周上时，四点共圆，此圆方程为，

整理得，即x2+2ax+1+y2=0，将点(1，±2)代入得a=－3.

综上所述，满足条件的实数a的取值范围是{a|－1<a<1}∪{－3}.

故答案为：{a|－1<a<1}∪{－3}.