Question

【题目】已知函数，要使函数恰有一个零点，则实数的取值范围是（ ）．

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

先利用导数求出函数的单调性和极值，画出函数的大致图象，令，由函数的图象可知方程，只能有一个正根，且若有负根的话，负根必须小于，分类讨论，即可求解．

由题意，函数，，则，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

所以函数的最小值为，

函数的大致图象，如图所示：

函数恰有一个零点，

等价于方程只有一个根，

令，由函数的图象可知方程，只能有一个正根，且若有负根的话，负根必须小于，

①当时，方程为，∴，符合题意，

②当时，

若，即时，方程为，解得，符合题意，

若，即时：设，

（ⅰ）当时，二次函数开口向下，又，

要使方程只有一个正根，且负根小于，则，

即，可得，

（ⅱ）当时，二次函数开口向上，又因为，

则方程有两个不等的正根，不符合题意，

综上所求，实数的取值范围是：或，

故选：B．