【题目】已知椭圆C:的左右焦点分别为F1,F2,点
在椭圆C上,满足
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)直线l1过点P,且与椭圆只有一个公共点,直线l2与l1的倾斜角互补,且与椭圆交于异于点P的两点M,N,与直线x=1交于点K(K介于M,N两点之间).
①问:直线PM与PN的斜率之和能否为定值,若能,求出定值并写出详细计算过程;若不能,请说明理由;
②求证:.
【答案】(1).(2)①定值为
;②证明见解析
【解析】
(1)设F1 (﹣c,0),F2(c,0),由可求c=1,再把点P的坐标代入椭圆方程结合a2=b2+c2,即可求出a,b,c的值,从而得到椭圆C的标准方程;
(2)①显然直线l1的斜率存在,设直线l1的方程为:yk(x﹣1),与椭圆方程联立,利用△=0解出k的值,进而求出直线l2的斜率,设直线l2方程为:y
,M(x1,y1),N(x2,y2),与椭圆方程联立,利用韦达定理代入kPM+kPN
,化简可得kPM+kPN=0为定值;②由①知∠MPK=∠NPK,
在△PMK和△PNK中,由正弦定理得,所以
,即|PM||KN|=|PN||KM|成立.
(1)设F1 (﹣c,0),F2(c,0),c>0,则(﹣c﹣1,
)(c﹣1,
)=1﹣c2
,
∴c=1,
∴,解得
,
∴椭圆C的标准方程为:;
(2)①显然直线l1的斜率存在,设直线l1的方程为:yk(x﹣1),即y=k(x﹣1)
联立方程,消去y得:(4k2+3)x2+(12k﹣8k2)x+(3﹣2k)2﹣12=0,
由题意可知△=(12k﹣8k2)2﹣4×(4k2+3)[(3﹣2k)2﹣12]=0,解得k,
∵直线l2与l1的倾斜角互补,∴直线l2的斜率为,
设直线l2方程为:y,M(x1,y1),N(x2,y2),
联立方程,整理得x2+tx+t2﹣3=0,
由△=t2﹣4(t2﹣3)>0,得t2<4,
且x1+x2=﹣t,,
∴直线PM与PN的斜率之和kPM+kPN0;
②由①知PMPN关于直线x=1对称,即∠MPK=∠NPK,
在△PMK和△PNK中,由正弦定理得,
又因为∠MPK=∠NPK,∠PKM+∠PKN=180°,
∴,
∴|PM||KN|=|PN||KM|成立.
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【题目】全国文明城市是中国所有城市品牌中含金量最高、创建难度最大的一个,是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号,是目前国内城市综合类评比中的最高荣誉,也是最具价值的城市品牌,作为普通市民,既是城市文明的最大受益者,更是文明城市的主要创造者,皖北某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取400份试卷作为样本,将样本的成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:后得到如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求样本的平均数;
(Ⅱ)现从该样本成绩在与
两个分数段内的市民中按分层抽样选取6人,求从这6人中随机选取2人,且2人的竞赛成绩之差的绝对值大于20的概率.
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【题目】直角坐标系xOy中,已知MN是圆C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=2的一条弦,且CM⊥CN,P是MN的中点.当弦MN在圆C上运动时,直线l:x﹣y﹣5=0上总存在两点A,B,使得恒成立,则线段AB长度的最小值是_____.
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【题目】蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆,若椭圆的蒙日圆为
,则
( )
A.B.
C.
D.
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【题目】已知椭圆:
(
)的右焦点为
,离心率为
.直线
过点
且不平行于坐标轴,
与
有两个交点
,
,线段
的中点为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)证明:直线的斜率与
的斜率的乘积为定值;
(3)延长线段与椭圆
交于点
,若四边形
为平行四边形,求此时直线
的斜率.
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【题目】《中华人民共和国个人所得税》规定,公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税,超过3500元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算:
全月应纳税所得额 | 税率( |
不超过1500元的部分 | 3 |
超过1500元至不超过4500元的部分 | 10 |
超过4500元至不超过9000元的部分 | 20 |
(1)试建立当月纳税款与当月工资、薪金(总计不超过12500元)所得的函数关系式;
(2)已知我市某国有企业一负责人十月份应缴纳税款为295元,那么他当月的工资、薪金所得是多少元?
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