Question

【题目】已知椭圆：()的右焦点为，离心率为.直线过点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

（3）延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率.

Answer 1

【答案】（1）.（2）证明见解析.（3）直线的斜率：

【解析】

（1）由题意知 ，，可得，，.故得到椭圆方程.

（2）设直线的方程为()，将直线与椭圆进行联立，利用中点坐标公式，结合韦达定理得到，进而得解.

（3）四边形为平行四边形，则.所以，

，又因为点在圆上，把点坐标代入椭圆方程，即可得出答案.

（1）由已知，，

又，解得，

所以椭圆方程为.

（2）设直线的方程为()

联立消去得

，不妨设，

则，因为为线段的中点

所以，

所以

所以为定值.

（3）若四边形为平行四边形，则

所以

因为点在椭圆上，所以

解得，即

所以当四边形为平行四边形时，直线的斜率为