Question

【题目】直角坐标系xOy中，已知MN是圆C：(x﹣2)2+(y﹣3)2=2的一条弦，且CM⊥CN，P是MN的中点.当弦MN在圆C上运动时，直线l：x﹣y﹣5=0上总存在两点A，B，使得恒成立，则线段AB长度的最小值是_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

依题意,点P在以C为圆心以1为半径的圆上,要使得∠APB恒成立,则点P在以AB为直径的圆内部,所以AB的最小值为圆的直径的最小值.

因为P为MN的中点,所以CP⊥MN,

又因为CM⊥CN,所以三角形CMN为等腰直角三角形,所以CP=1,

即点P在以C为圆心,以1为半径的圆上,点P所在圆的方程为(x﹣2)2+(y﹣3)2=1,

要使得∠APB恒成立,则点P所在的圆在以AB为直径的圆的内部,

而AB在直线l：x﹣y﹣5=0上,

C到直线l：x﹣y﹣5=0的距离d.

所以以AB为直径的圆的半径的最小值为r=31,

所以AB的最小值为2r=62.

故答案为：62.