Question

17．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴的距离的差都是1．
（1）求曲线C的方程；
（2）若以F为圆心的圆与直线4x+3y+1=0相切，过点F任作直线l交曲线C于A，B两点，由点A，B分别向圆F引一条切线，切点分别为P，Q，记α=∠PAF，β=∠QBF，求证：sinα+sinβ是定值．

Answer 1

分析 （1）抛物线的定义，即可求曲线C的方程；
（2）对直线l的斜率分存在和不存在两种情况：把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义即可得出．

解答 解：（1）∵一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴的距离的差都是1，
∴点的轨迹是以F为焦点，x=-1为准线的抛物线，
∴点M的轨迹C的方程为y²=4x（x≠0）；
（2）当l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1），
代入抛物线方程，整理得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
∴sinα+sinβ=$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}{+x}_{2}+1}$=1．
当l与x轴垂直时，也可得sinα+sinβ=1，
综上，有sinα+sinβ=1．

点评 熟练掌握直线的方程与抛物线的方程联立并利用根与系数的关系及抛物线的定义是解题的关键．