Question

【题目】已知梯形ABCD满足AB∥CD，∠BAD＝45°，以A，D为焦点的双曲线Γ经过B，C两点.若CD＝7AB，则双曲线Γ的离心率为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

先画出大致图象，结合双曲线的定义以及余弦定理求得a，c之间的关系即可得到结论.

如图：连接AC，BD，设双曲线的焦距AD＝2c，实轴长为2a，

则BD﹣AB＝AC﹣CD＝2a，

设AB＝m，则CD＝7m，BD＝2a+m，AC＝2a+7m，∠BAD＝45°，∠ADC＝135°，

在△ABD中，由余弦定理及题设可得：（2a+m）2＝m2+4c2﹣2，

在△ACD中，由余弦定理及题设可得：（2a+7m）2＝49m2+4c2+14，

整理得：（c2﹣a2）＝m（a+c），（c2﹣a2）＝7m（a﹣c），

两式相结合得：a+c＝7（a﹣c），故6a＝8c，

∴双曲线Γ的离心率为e.

故选：A.