Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，椭圆左、右焦点分别为，，离心率为，两准线间距离为8，圆O的直径为，直线l与圆O相切于第四象限点T，与y轴交于M点，与椭圆C交于点N（N点在T点上方），且．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求直线l的方程；

（3）求直线l上满足到，距离之和为的所有点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（2）．（3）和．

【解析】

(1) 根据椭圆的性质、离心率和两准线间的距离，列出以下方程：①，②，③，然后求解即可.

(2) 法一：设切点，则⑤, 利用和为核心参数，依次表示直线OT的斜率，直线的方程，以及N点的坐标，然后列方程求解即可求出和，进而即可求解.

法二：设，，然后，以，，为核心参数，列出直线的方程，又因与相切，则列出圆心距的方程，最后根据(1)中的方程，联合求解即可.

(3) 因为到，距离之和为的所有点的集合为椭圆C，

所以满足题意的点为直线l与椭圆C的公共点，

联立④和⑨得：，然后求解即可.

解：（1）设椭圆C的焦距为，因为离心率为①，

两准线间距离为②，又③，

由①②③解得，．则椭圆C的标准方程为④

（2）法一：设切点，则⑤，因T在第四象限，所以，，

直线OT的斜率，因为，所以直线的斜率，

直线，由⑤得：⑥，

令，得，

因为，，所以，T为MN中点，所以，

代入（1）中④得：，解得：，，

代入⑥式得：直线l的方程为．

法二：设，，则⑤，设直线⑦，

因为切点T在第四象限，所以，，．

因l与相切，则圆心距，⑧，

因为，则，所以⑨，

联立⑤⑨解得：，，

因为，所以，，

则，由⑧得，解得，．

当时，，与矛盾．则，代入⑧，得，

所以直线l方程为⑨．

（3）因为到，距离之和为的所有点的集合为椭圆C，

所以满足题意的点为直线l与椭圆C的公共点，

联立④⑨得：，得，即或，

所以满足条件的点的坐标为和．