Question

已知函数 f（x）=log_ax，（a＞0，a≠1）．
（1）若a=10，求2f（2）+f（25）的值；
（2）若f（2a）＞-1，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）若a=10时，
2f（2）+f（25）
=2lg2+lg25=lg100
=2，
（2）∵f（2a）＞-1，
∴log_a（2a）＞log_a
（i）当a＞1时，f（x）=log_ax为单调递增函数，
由于2a＞故f（2a）＞-1恒成立．
（ii）当0＜a＜1时，f（x）=log_ax为单调递减函数，
则2a＜，
故0＜a＜．
则实数a的取值范围是a＞1或0＜a＜．
分析：（1）若a=10时2f（2）+f（25）=2lg2+lg25=lg100从而得出结果；
（2）先根据题意得出log_a（2a）＞log_a下面对a进行分类讨论：（i）当a＞1时，f（x）=log_ax为单调递增函数，（ii）当0＜a＜1时，f（x）=log_ax为单调递减函数，分别求得a的范围，最后综合即得实数a的取值范围．
点评：本小题主要考查对数函数的单调性与特殊点、对数的运算性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．