Question

9．已知a∈R，函f（x）=x³-ax²+ax+a，g（x）=f（x）+（a-3）x．
（1）求证：曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线过定点；
（2）若g（1）是g（x）在区间（0，3]上的极大值，但不是最大值，求实数a的取值范围；
（3）求证：对任意给定的正数b，总存在a∈（3，+∞），使得g（x）在$（\frac{a}{3}，\frac{a+b}{3}）$上为单调函数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程，从而求出切线过定点；
（2）求出g（x）的导数，根据g（1）是g（x）在区间（0，3]上的极大值以及g（1）不是g（x）在区间（0，3]上的最大值，得到关于a的不等式，解出即可；
（3）求出g（x）的导数，若g（x）在（$\frac{a}{3}$，$\frac{a+b}{3}$）为单调函数，则$\frac{a+b}{3}$≤$\frac{2a-3}{3}$，即a≥b+3，从而证出结论．

解答 解：（1）∵f′（x）=3x²-2ax+a，∴f′（1）=3-a，
∴f（1）=a+1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：
y-（a+1）=（3-a）（x-1），
即a（x-2）=3x-y-2，令x=2，则y=4，
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线过定点（2，4）．
（2）解：g′（x）=（x-1）[3x-（2a-3）]，
令g′（x）=0，得x=0或x=$\frac{2a-3}{3}$，
∵g（1）是g（x）在区间（0，3]上的极大值，
∴$\frac{2a-3}{3}$＞1，解得：a＞3，
令g′（x）＞0，得x＜1或x＞$\frac{2a-3}{3}$，g（x）递增；
令g′（x）＜0，得1＜x＜$\frac{2a-3}{3}$，g（x）递减．
∵g（1）不是g（x）在区间（0，3]上的最大值，
∴g（x）在区间（0，3]上的最大值为g（3）=18-2a．
∴g（3）=18-2a＞g（1）=2a-2，∴a＜5，
又a＞3，∴3＜a＜5．
（3）证明：g′（x）=f′（x）+a-3=（x-1）[3x-（2a-3）]．
∵a∈（3，+∞），∴$\frac{2a-3}{3}$＞1，
令g′（x）＞0，得x＜1或x＞$\frac{2a-3}{3}$，g（x）递增；
令g′（x）＜0，得1＜x＜$\frac{2a-3}{3}$，g（x）递减；
∵a∈（3，+∞），∴1＜$\frac{a}{3}$＜$\frac{2a-3}{3}$，
若g（x）在（$\frac{a}{3}$，$\frac{a+b}{3}$）为单调函数，则$\frac{a+b}{3}$≤$\frac{2a-3}{3}$，即a≥b+3，
故对任意给定的正数，n，总存在a∈[b+3，+∞）（其中b+3＞3），
使得g（x）在（$\frac{a}{3}$，$\frac{a+b}{3}$）上为单调函数．

点评 本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．