Question

14．已知不等式ax²+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}．
（1）求a，c的值；
（2）若不等式ax²+2x+4c＞0的解集为A，不等式3ax+cm＜0的解集为B，且A?B，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由一元二次不等式和对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出a、c的值；
（2）由（1）中a、c的值求解不等式ax²+2x+4c＞0，再根据真子集的定义求出m的取值范围．

解答 解：（1）∵不等式ax²+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，
∴1、3是方程ax²+x+c=0的两根，且a＜0，…（1分）
所以$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{1+3=-\frac{1}{a}}\\{1×3=\frac{c}{a}}\end{array}\right.$；…（3分）
解得a=-$\frac{1}{4}$，c=-$\frac{3}{4}$；…（5分）
（2）由（1）得a=-$\frac{1}{4}$，c=-$\frac{3}{4}$，
所以不等式ax²+2x+4c＞0化为-$\frac{1}{4}$x²+2x-3＞0，
解得2＜x＜6，
∴A={x|2＜x＜6}，
又3ax+cm＜0，即为x+m＞0，
解得x＞-m，
∴B={x|x＞-m}，…（8分）
∵A?B，
∴{x|2＜x＜6}?{x|x＞-m}，
∴-m≤2，即m≥-2，
∴m的取值范围是[2，+∞）．…（10分）

点评 本题考查了一元二次不等式和对应方程的应用问题，也考查了真子集的定义与应用问题，是中档题目．