Question

4．若不等式x²+x+a+1≥0对一切$x∈[{0，\frac{1}{2}}]$都成立，则a的最小值为（　　）

• A． 0
• B． -1
• C． $-\frac{5}{2}$
• D． $-\frac{7}{4}$

Answer 1

分析 问题转化为a≥-x²-x-1对x∈[0，$\frac{1}{2}$]恒成立，令f（x）=-x²-x-1=-${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{4}{4}$，x∈[0，$\frac{1}{2}$]，根据函数的单调性求出f（x）的最大值，从而求出a的最小值即可．

解答 解：若不等式x²+x+a+1≥0对一切$x∈[{0，\frac{1}{2}}]$都成立，
即a≥-x²-x-1对x∈[0，$\frac{1}{2}$]恒成立，
令f（x）=-x²-x-1=-${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{4}{4}$，x∈[0，$\frac{1}{2}$]，
则f（x）在[0，$\frac{1}{2}$]递减，f（x）_max=f（0）=-1，
故a≥-1，
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．