精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件，①f（-1）=f（1）=0，②对任意的u、v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|
（Ⅰ）证明：对任意x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x
（Ⅱ）证明：对任意的u，v∈[-1，1]都有|f（u）-f（v）|≤1
（Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f（x）且使得 $数学公式$ ；若存在请举一例，若不存在，请说明理由．

（Ⅰ）证明：由题设条件可知，
当x∈[-1，1]时，有|f（x）|=|f（x）-f（1）|≤|x-1|=1-x，即x-1≤f（x）≤1-x．
（Ⅱ）证明：对任意的u，v∈[-1，1]，
当|u-v|≤1时，有|f（u）-f（v）|≤|u-v|≤1
当|u-v|≤1时，u•v＜0，不妨设u∈[-1，0），v∈（0，1]，则v-u＞1
从而有|f（u）-f（v）|≤|f（u）-f（-1）|+|f（v）-f（1）|≤|u+1|+|v-1|=2-（v-u）＜1
综上可知，对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤1
（Ⅲ）解：这样满足所述条件的函数不存在．理由如下：
假设存在函数f（x）满足条件，则由|f（u）-f（v）|=|u-v|．
$\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
又f（1）=0，所以 $\text{[math]}$ ①
又因为f（x）为奇函数，所以f（0）=0，
由条件|f（u）-f（v）|＜|u-v|．
$\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ ②
①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在．
分析：（I）利用条件②，可得当x∈[-1，1]时，有|f（x）|=|f（x）-f（1）|≤|x-1|=1-x，从而可得结论；
（II）分类讨论，利用条件②，即可得到结论；
（III）利用反证法，利用条件引出矛盾，即可得解．
点评：本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

设y=f（x）是定义在区间（a，b）（b＞a）上的函数，若对?x₁、x₂∈（a，b），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，则称y=f（x）是区间（a，b）上的平缓函数．
（1）试证明对?k∈R3，f（x）=x²+kx+14都不是区间（-1，1）5上的平缓函数；
（2）若f（x）是定义在实数集R上的、周期为T=2的平缓函数，试证明对?x₁、x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

设y=f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，给出下列关于函数y=f（x）的判断：
①y=f（x）是周期函数；
②y=f（x）的图象关于直线x=1对称；
③y=f（x）在[0，1]上是增函数；
④f(

)=0．
其中正确判断的序号是

．（把你认为正确判断的序号都填上）

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

设y=f（x）是定义在R上的函数，给定下列三个条件：
（1）y=f（x）是偶函数；
（2）y=f（x）的图象关于直线x=1对称；
（3）T=2为y=f（x）的一个周期．
如果将上面（1）、（2）、（3）中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题中真命题的个数有

个．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

（2003•北京）设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（Ⅰ）证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判断函数g(x)=