Question

（本题满分15分）

已知点，是抛物线上相异两点，且满足．

（Ⅰ）若的中垂线经过点，求直线的方程；

（Ⅱ）若的中垂线交轴于点，求的面积的最大值及此时直线的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

试题分析：方法一：

解：（I）当垂直于轴时，显然不符合题意，

所以可设直线的方程为，代入方程得：

∴                         ………………………………2分

得：              

∴直线的方程为                  

∵中点的横坐标为1，∴中点的坐标为    …………………………4分       

∴的中垂线方程为 

∵的中垂线经过点，故，得       ………………………6分

∴直线的方程为                       ………………………7分

（Ⅱ）由（I）可知的中垂线方程为，∴点的坐标为 …………8分

因为直线的方程为

∴到直线的距离      …………………10分

由得，

            …………………………12分

∴,  设,则，

，，由，得

即时

此时直线的方程为                         ……………15分

（本题若运用基本不等式解决，也同样给分）

法二：

（1）根据题意设的中点为，则      ………………2分

由、两点得中垂线的斜率为，              ………………4分

由，得                          ………………6分

∴直线的方程为                       ………………7分

（2）由（1）知直线的方程为                             ………………8分

中垂线方程为，中垂线交轴于点

点到直线的距离为            ………………10分

由得：

当时，有最大值，此时直线方程为……………15分

考点：本试题考查了直线方程与抛物线方程的知识。

点评：解决该试题的关键是利用两直线的垂直，结合斜率之积为-1，得到斜率，同时结合点点斜式方程来得到直线的方程。而对于直线与抛物线的位置关系的处理，结合方程组，设而不求的思想来结合韦达定理和判别式得到结论，属于中档题。