Question

将半径为R的四个球，两两相切地放在桌面上，求上面一个球的球心到桌面的距离．

Answer 1

分析：设四个球的球心分别为O₁、O₂、O₃、O₄，将它们两两连结恰好组成一个正三棱锥，且各棱长均为2R，作O₁H⊥面O₂O₃O₄，垂足为H，则O₁H为棱锥的高，由此可求上面一个球的球心到桌面的距离．

解答：解：设四个球的球心分别为O₁、O₂、O₃、O₄，将它们两两连结恰好组成一个正三棱锥，且各棱长均为2R，作O₁H⊥面O₂O₃O₄，垂足为H，则O₁H为棱锥的高．
连接O₄H，则O₄H=

2 3

3

R，
∵O₁H⊥面O₂O₃O₄，
∴O₁H⊥HO₄，即∠O₁HO₄=90°，∴O₁H=

2 6

3

R，
则从上面一个球的球心到桌面的距离为（

2 6

3

+1）R．

点评：本题考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，考查学生转化问题的能力，属于中档题．