Question

已知圆C：x²-8x+y²-9=0，过点M（1，3）作直线交圆C于A，B两点，△ABC面积的最大值为

 

．

Answer 1

分析：根据题意可设出过点M（1，3）的直线l方程，利用点到直线的距离公式求得圆心（4，0）到l的距离，用弦心距、半弦长、半径组成的直角三角形进行计算转化，从而可得到△ABC面积的表达式，可求得其最大值．

解答：解：设过点M（1，3）的直线方程为l：y-3=k（x-1），由x²-8x+y²-9=0得圆心C（4，0），半径r=5，
设圆心C（4，0）到直线l的距离为d，点C在l上的射影为M，则d=

3|1+k|

1+k2

；
在直角△CMA中，(

|AB|

2

)2=r²-d²=25-

9(1+k)2

1+k2

=16-

18k

1+k2

=16-

18

1 k +k

，
又d2=

9(k2+2k+1)

1+k2

=9+

18k

1+k2

= 9+

18

1 k +k

，令

18

1 k +k

=t，则t≤9(k＞0)或t≤-9(k＜0)(舍，否则d2＜0)
 设△ABC面积为s，s2=(

|AB|

2

)2•d2=（16-t）•（9+t）=-(t-

7

2

)2+

625

4

，
∴s2最大值=

625

4

，
∴s最大值=

25

2

．
 故答案为：

25

2

．

点评：本题考查直线方程与圆的方程的应用，解决的方法利用弦心距、半弦长、半径组成的直角三角形进行计算，难点在于复杂的运算与化归，属于难题．